elastic_solid

对应源码：src/shared/physical_closure/materials/elastic_solid.h与src/shared/physical_closure/materials/elastic_solid.cpp。

1.类关系总览

另外：complex_solid.h/.hpp里有CompositeSolid、ActiveMuscle等会“组合/叠加”这些ElasticSolid派生类的StressPK2。

2.符号与张量（与实现一致）

• $F$：deformation，变形梯度。

• $J=\det(F)$：体积比。

• $C=F^TF$：RightCauchy-Green张量。

• $b=FF^T$：LeftCauchy-Green张量。

• $E=\frac12(C-I)$：Green-Lagrange应变。

• $e=\frac12\left(I-(FF^T)^{-1}\right)$：EulerianAlmansi应变（代码里通过$F$构造）。

• 应力度量：

  • PK1：$P$，一阶Piola-Kirchhoff应力。

  • PK2：$S$，二阶Piola-Kirchhoff应力。

  • Cauchy：$\sigma$。

  • Kirchhoff：$\tau=J\,\sigma$。

在固体动力学里常用的换算（见elastic_dynamics.cpp）：

• 由PK2到PK1：$P=F\,S$。

• 由Cauchy到PK1：$P=J\,\sigma\,F^{-T}$。

• Kirchhoff分解形式：$P=(\tau)F^{-T}$，其中$\tau=\tau_{vol}I+\tau_{dev}$。

3.ElasticSolid（抽象基类）

3.1材料参数与波速

成员（均为reference/初始常量意义）：

• $\rho_0$：密度（来自Solid基类中的rho0_）。

• $E_0,G_0,K_0,\nu$：杨氏模量、剪切模量、体积模量、泊松比（对应E0_、G0_、K0_、nu_）。

• $c_0,c_{t0},c_{s0}$：声速/拉伸波速/剪切波速（对应c0_、ct0_、cs0_）。

代码中setSoundSpeeds()：

$$c_0=\sqrt{\frac{K_0}{\rho_0}},\quad c_{t0}=\sqrt{\frac{E_0}{\rho_0}},\quad c_{s0}=\sqrt{\frac{G_0}{\rho_0}}$$

这些波速主要用于：时间步控制、接触刚度setContactStiffness(c0_)、以及数值耗散。

3.2统一接口（子类必须给出具体本构）

• StressPK1(F,i)、StressPK2(F,i)、StressCauchy(e,i)

• VolumetricKirchhoff(J)

• getRelevantStressMeasureName()：后处理选择的应力度量名称（如PK2或Cauchy）

3.3Kirchhoff应力的“体积+偏”分解

• DeviatoricKirchhoff(deviatoric_be)：默认实现非常简单

$$au_{dev}=G_0\,\text{deviatoric\_be}$$

其中deviatoric_be来自动力学模块对归一化$b$的去迹部分：

$$\bar b = J^{-2/d} b,\quad \text{deviatoric\_be}=\bar b-\frac{\mathrm{tr}(\bar b)}{d}I$$

• VolumetricKirchhoff(J)：由子类定义$\tau_{vol}$。

3.4数值耗散

• PairNumericalDamping(dE_dt_ij,h)：

$$ext{damping}=\frac12\rho_0 c_0\,\dot E_{ij}\,h$$

• NumericalDampingRightCauchy/NumericalDampingLeftCauchy：用$\dot F$构造应变率并分离法向/剪切部分，返回一个“应力型”阻尼项，比例系数包含$\rho_0,c_0,c_{s0}$。

4.LinearElasticSolid（各向同性线弹性）

4.1 参数换算

构造函数输入$(\rho_0,E,\nu)$，代码计算：

$$K_0=\frac{E}{3(1-2\nu)},\quad G_0=\frac{E}{2(1+\nu)},\quad \lambda_0=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}$$

其中$\lambda_0$是第一Lame系数。

4.2本构公式（实现细节很重要）

• StressPK2(F)：

代码使用“对称化的F减I”作为小应变近似：

$$\varepsilon=\frac12(F^T+F)-I$$

$$S=\lambda_0\,\mathrm{tr}(\varepsilon)I+2G_0\varepsilon$$

• StressPK1(F)：$P=FS$。

• StressCauchy(almansi)：同样的线弹性形式

$$\sigma=\lambda_0\,\mathrm{tr}(e)I+2G_0 e$$

• VolumetricKirchhoff(J)：

$$au_{vol}=K_0 J(J-1)$$

4.3 适用范围

• 适合小变形、小转动（因为应变用$\frac12(F^T+F)-I$，并不是严格的有限变形形式）。

• 如果存在较大旋转或大拉伸，建议用SVK/Neo-Hookean等超弹性。

getRelevantStressMeasureName()返回PK2，默认更偏向在Lagrangian框架做后处理。

5.Saint-Venant-Kirchhoff Solid（SVK超弹性）

与LinearElasticSolid同参数，但使用有限变形应变：

$$E=\frac12(F^TF-I)$$

$$S=\lambda_0\,\mathrm{tr}(E)I+2G_0E$$

适用范围：

• 允许较大位移/转动（几何非线性），但材料本构仍是“线弹性形式”，在大应变下可能出现不物理响应（例如压缩/拉伸非对称等）。

6.NeoHookeanSolid（可压缩Neo-Hookean）

6.1 StressPK2(F)

代码实现（并注明允许$\det(F)$为负，参考Smith2018的StableNeo-Hookean思路）：

令$C=F^TF,J=\det(F)$，则

$$S=G_0 I+\left(\lambda_0(J-1)-G_0\right)J\,C^{-1}$$

6.2StressCauchy(almansi)

代码从Almansi应变反解$B$：

$$B=\left(-2e+I\right)^{-1},\quad J=\sqrt{\det(B)}$$

$$\sigma=\frac12K_0\left(J-\frac1J\right)I+G_0\,J^{-2/d-1}\left(B-\frac{\mathrm{tr}(B)}{d}I\right)$$

6.3VolumetricKirchhoff(J)

$$au_{vol}=\frac12K_0(J^2-1)$$

6.4 适用范围

• 典型大变形弹性体/软组织背景材料。

• getRelevantStressMeasureName()返回Cauchy，更适合Eulerian意义的后处理。

7.NeoHookeanSolidIncompressible（不可压缩偏）

7.1StressPK2(F)

令$C=F^TF$，$I_1=\mathrm{tr}(C)$，$I_3=\det(C)$，则

$$S=G_0 I_3^{-1/3}\left(I-\frac13 I_1 C^{-1}\right)$$

7.2VolumetricKirchhoff(J)

仍使用

$$au_{vol}=\frac12K_0(J^2-1)$$

7.3重要限制

• StressCauchy()在cpp里标记TODO并返回空矩阵，因此不能用于Cauchy应力积分路径。

• 头文件注释写明：Currently only works with DecomposedIntegration1stHalf,not with Integration1stHalf。

8.OrthotropicSolid（正交各向异性，仅3D）

构造输入：3个正交主方向$a_i$、对应$E_i,G_i,\nu_i$（i=1..3）。

实现要点：

• 继承LinearElasticSolid时，为了“时间步/声速估计”，父类用$\max(E_i)$和$\max(\nu_i)$近似。

• 派生类内部会构造$A_i=a_i\otimes a_i$，以及各向异性系数Mu_[i]与Lambda_(i,j)。

StressPK2(F)使用有限变形应变$E=\frac12(F^TF-I)$，然后做双重求和组装：

$$S=\sum_{i=1}^{d}\mu_i\left(A_iE+EA_i+\frac12\sum_{j=1}^{d}\Lambda_{ij}\left(\langle A_i,E\rangle A_j+\langle A_j,E\rangle A_i\right)\right)$$

其中$\langle A,E\rangle$对应代码里的CalculateBiDotProduct(A_[i],strain)。

VolumetricKirchhoff(J)沿用线弹性的

$$au_{vol}=K_0J(J-1)$$

适用范围：

• 仅3D。

• 适合木材、复合材料、纤维增强材料等“正交各向异性”弹性。

9.FeneNeoHookeanSolid（FENE有限延展）

在Neo-Hookean基础上引入有限延展参数j1_m_（默认1.0）。

令$C=F^TF$，$\text{strain}=\frac12(C-I)$，$J=\det(F)$，则

$$S=\frac{G_0}{1-\frac{2\,\mathrm{tr}(\text{strain})}{j1_m}}I+\left(\lambda_0(J-1)-G_0\right)J\,C^{-1}$$

适用范围：

• 适合链网络/橡胶类材料在大拉伸下“逐渐变硬”的效应。

• 需要避免$1-2\,\mathrm{tr}(\text{strain})/j1_m\to0$导致奇异。

getRelevantStressMeasureName()返回Cauchy。

10.Muscle（全局正交各向异性肌肉）

10.1 参数与方向

• 输入：$\rho_0$、bulk_modulus（体积模量意义）、参考纤维方向$f_0$、片层方向$s_0$、以及4组材料参数a0_[k]、b0_[k]。

• 内部构造：$f_0\otimes f_0$、$s_0\otimes s_0$、$f_0\otimes s_0+s_0\otimes f_0$。

10.2 由bulk_modulus与a0,b0反推(E,nu)

代码里把背景剪切模量取为$G=a0$（仅background）：

$$\nu=\frac12\frac{3K-2G}{3K+G},\quad E=3K(1-2\nu)$$

10.3 StressPK2(F)

令$C=F^TF,J=\det(F)$，并定义不变量（实现完全一致）：

$$I_{ff}-1=f_0^TCf_0-1$$

$$I_{ss}-1=s_0^TCs_0-1$$

$$I_{fs}=f_0^TCs_0$$

$$I_1-1=\mathrm{tr}(C)-d$$

则

$$\begin{aligned} S&=a_0^{(0)}e^{b_0^{(0)}(I_1-1)}I+\left(\lambda_0(J-1)-a_0^{(0)}\right)J\,C^{-1}\\ &\quad+2a_0^{(1)}(I_{ff}-1)e^{b_0^{(1)}(I_{ff}-1)^2}(f_0\otimes f_0)\\ &\quad+2a_0^{(2)}(I_{ss}-1)e^{b_0^{(2)}(I_{ss}-1)^2}(s_0\otimes s_0)\\ &\quad+a_0^{(3)}I_{fs}e^{b_0^{(3)}I_{fs}^2}(f_0\otimes s_0+s_0\otimes f_0) \end{aligned}$$

VolumetricKirchhoff(J)：

$$au_{vol}=K_0J(J-1)$$

适用范围：

• 适合具有纤维增强的软组织/肌肉，被动各向异性响应。

• 这里的方向是“全局常量”（所有粒子相同）。

getRelevantStressMeasureName()返回Cauchy。

11.LocallyOrthotropicMuscle（局部纤维/片层方向）

与Muscle同本构，但纤维方向local_f0_[i]与片层方向local_s0_[i]随粒子变化。

源码行为：

• registerLocalParameters()注册粒子状态变量Fiber与Sheet。

• initializeLocalParameters()派生出FiberFiberTensor、SheetSheetTensor、FiberSheetTensor。

• StressPK2(F,i)把Muscle里的$f_0,s_0$替换为local_f0_[i]、local_s0_[i]及其张量积。

适用范围：

• 适合纤维场空间变化（例如心肌纤维螺旋分布）。

12.与固体动力学积分格式的对齐（怎么选模型更稳）

elastic_dynamics.cpp里提供多条应力路径：

• Integration1stHalfPK2：直接用StressPK2(F)，再转PK1。

• Integration1stHalfKirchhoff：用VolumetricKirchhoff(J)+DeviatoricKirchhoff(deviatoric_b)组装Kirchhoff应力。

• Integration1stHalfCauchy：用StressCauchy(almansi)得到$\sigma$，再转PK1。

• DecomposedIntegration1stHalf：显式使用VolumetricKirchhoff(J)并做一项与ShearModulus()相关的修正，再加LeftCauchy数值耗散。

因此选择建议：

• 如果材料类没有实现StressCauchy(例如NeoHookeanSolidIncompressible目前TODO)，就不要走Cauchy路径。

• 如果希望用Kirchhoff分解形式，需要VolumetricKirchhoff(J)合理且DeviatoricKirchhoff足够表达材料偏应力；当前ElasticSolid默认的DeviatoricKirchhoff是$G_0\,\text{deviatoric\_be}$，更接近各向同性剪切。

• 各向异性材料(OrthotropicSolid/Muscle/LocallyOrthotropicMuscle)主要通过StressPK2提供完整偏应力，通常更适合走PK2路径。

13.适用范围速查

• LinearElasticSolid：小应变、小转动；快但在大变形下不可靠。

• SaintVenantKirchhoffSolid：有限变形几何；中等应变可用，但极大应变可能不物理。

• NeoHookeanSolid：大变形弹性体常用；实现含稳定化处理；同时支持Cauchy后处理。

• NeoHookeanSolidIncompressible：不可压缩偏；当前不支持StressCauchy；按注释更适合DecomposedIntegration1stHalf。

• OrthotropicSolid：3D正交各向异性；适合方向性弹性材料。

• FeneNeoHookeanSolid：大拉伸有限延展效应；注意接近奇异的参数区。

• Muscle/LocallyOrthotropicMuscle：软组织/肌肉被动各向异性；后者方向可随空间变化。